Задание B19404 по стереометрии

а) В треугольнике SAD точки M и K — середины сторон SA и SD. Поэтому MK — средняя линия: MK ∥ AD. В правильном шестиугольнике AD ∥ BC, значит, MK ∥ BC.

Прямая MK проходит через точку M и параллельна прямой BC, поэтому она лежит в плоскости BMC. Следовательно, K принадлежит этой плоскости; в ней лежат и прямые BM, CK. Значит, BM и CK компланарны.

б) Пусть O — центр основания, H — середина AO. Так как M — середина SA, отрезок MH является средней линией треугольника SAO. Поэтому MH ∥ SO и MH=h2, где h — высота пирамиды.

В правильном шестиугольнике при AB=8 имеем BH=4√3, причём BH ⟂ BC. Отрезок MH перпендикулярен плоскости основания, поэтому MH ⟂ BC. Значит, угол MBH — линейный угол между плоскостью BMC и плоскостью основания.

По условию ∠MBH=45°. В прямоугольном треугольнике BHM:
tan 45° = MHBH = (h2)(4√3).
Отсюда h=8√3.

Ответ: 8√3.