Задание 16DDDD: Планиметрия

а) Обозначим ∠ABC=α. Тогда ∠BAC=2α. Поскольку O — центр описанной окружности треугольника ABC, центральный угол ∠AOC вдвое больше вписанного угла ∠ABC:
∠AOC=2∠ABC=2α.
Точки A, O, C, P лежат на одной окружности, поэтому вписанный угол ∠APC, опирающийся на дугу AC, равен ∠AOC. Значит, ∠APC=2α=∠BAC. Кроме того, точки B, P, C лежат на одной прямой, поэтому ∠ACP=∠ACB. Следовательно, △PAC∼△ABC по двум углам.

б) Из подобия получаем PCAC=ACBC. Поэтому
PC=AC²BC=2²√10=2√105.
Также ∠PAC=∠ABC=α, а ∠BAC=2α, значит, AP — биссектриса угла BAC. По теореме о биссектрисе
ABAC=BPPC.
Вычислим BP:
BP=BC−PC=√10−2√105=3√105.
Тогда AB2=3√105:2√105=32, откуда AB=3.

Ответ: 3.