Задание FAAE63: Планиметрия

а) Обозначим AB=x и выберем координаты A(0;0), B(x;0), C(x;9), D(0;9), M(0;m). Из условия BM⊥AC получаем нулевое скалярное произведение направляющих векторов:
BM=(−x;m), AC=(x;9),
BM·AC=−x²+9m=0.
Следовательно,
m=x²9.
Так как MB=MD, то после возведения в квадрат имеем
x²+m²=(9−m)²=81−18m+m²,
x²=81−18m.
Подставляем m=x²9:
x²=81−2x²,
3x²=81,
x²=27,
x=3√3, m=3.
Значит, M(0;3). Теперь
cos∠ABM=BA·BM|BA|·|BM|=273√3·6=√32,
cos∠DBC=BD·BC|BD|·|BC|=816√3·9=√32.
Следовательно, ∠ABM=∠DBC=30°.

б) Центр прямоугольника — точка O(3√32;92). Прямая CM проходит через M(0;3) и имеет направляющий вектор CM=(3√3;6). Поэтому любая её точка R(X;Y) получается из M сдвигом на t·CM:
X=3√3t,
Y=3+6t.
Из первого равенства t=X3√3. Подставляем это во второе:
Y=3+6·X3√3=3+2X√3.
Умножая на √3 и перенося всё в левую часть, получаем уравнение прямой CM:
2X−√3Y+3√3=0.
Расстояние от точки O до этой прямой равно
d(O;CM)=|2·3√32−√3·92+3√3|√7
=3√32√7=3√2114.

Ответ: 3√2114.