Задание 8EBB9F по стереометрии

а) Проекция AC₁ на плоскость основания — отрезок AC. Поскольку AC₁ пересекает ось цилиндра, AC проходит через центр основания и является диаметром. Поэтому по теореме Фалеса ∠ABC=90°. Вектор BC₁ отличается от BC только вертикальной составляющей, а BA лежит в плоскости основания; значит, BA⊥BC₁. Следовательно, ∠ABC₁=90°.

б) В прямоугольном треугольнике ABC:
AC=√AB²+BC²=√21²+16²=√697.

Расположим A в начале координат, AC направим вдоль оси x, а образующие — вдоль оси z. Тогда C₁(√697,0,12). Пусть B(x,y,0). Из теоремы косинусов в треугольнике ABC:
x=(AB²+AC²−BC²)(2AC)
=(441+697−256)(2√697)=441√697.

Направляющий вектор AC₁ равен (√697,0,12) и имеет длину
√697+144=29.
Расстояние от B до прямой AC₁ равно
√(AB²−((AB·AC₁)|AC₁|)²)
=√(441−(x√69729)²)
=√(441−(44129)²)=42029.

Ответ: 42029.