Задание 36CE6E: Планиметрия

а) Обозначим ∠BAD=φ. Так как BP⊥AD, то ∠ABP=90°−φ. Прямая BQ перпендикулярна CD, а CD∥AB, поэтому угол между BP и BQ равен φ:
∠PBQ=φ=∠MAB.
В треугольниках MAB и PBQ известны две пары равных сторон AM=BP, AB=BQ и равные углы между ними ∠MAB=∠PBQ. Следовательно, △MAB≅△PBQ по двум сторонам и углу между ними, откуда BM=PQ.

б) В прямоугольном треугольнике ABP
AP=√AB²−BP²=√10²−8²=√36=6.
Проведём QH⊥BP. Треугольники ABP и BQH равны: AB=BQ=10, ∠APB=∠BHQ=90°, а ∠BAP=∠QBH. Поэтому BH=AP=6. Тогда
PH=BP−BH=8−6=2.
Прямые QH и AP параллельны, поэтому у треугольников APQ и APH одинаковое основание AP и равные высоты. Следовательно,
S(APQ)=S(APH)=AP·PH2=6·22=6.

Ответ: 6.