Задание F7B7A1: Стереометрия

Расположим основание в плоскости z = 0: A(−4,0,0), C(4,0,0), B(0,2√5,0). Тогда AB = BC = 6, AC = 8. Так как призма прямая и AA₁ = 3, получаем A₁(−4,0,3), B₁(0,2√5,3).

K — середина A₁B₁, поэтому K(−2,√5,3). Точка M делит AC в отношении 1:3, следовательно, M(−2,0,0). Вектор KM = (0,√5,3), а вектор AC = (8,0,0); их скалярное произведение равно 0. Значит, KM ⟂ AC.

Нормаль к плоскости ABB₁ можно взять равной n = (√53, −23, 0): она перпендикулярна AB и лежит в основании. Тогда |KM| = √14, а |KM·n| = 2√53. Если φ — угол между KM и плоскостью ABB₁, то sin φ = |KM·n||KM| = √7021.

Следовательно, φ = arcsin(√7021).