Задание 6F3F6D по стереометрии

а) Отразим пирамиду в плоскости симметрии, проходящей через середины противоположных сторон AD и BC. Точки P и Q при этом меняются местами, а точка M на SD переходит в точку N на SC так, что SN:NC=SM:MD=2:1. Поэтому плоскость MPQ пересекает ребро SC в точке N, а MP=NQ. Кроме того, MN∥PQ как отрезки, соединяющие соответствующие точки симметричных граней. Следовательно, сечение MNPQ — равнобедренная трапеция.

б) Для отношения объёмов используем аффинные координаты: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), S(0,0,1). Тогда
M(0,23,13), P(1,12,0), Q(0,12,0).

Плоскость сечения проходит через P, Q и M. Пусть её нормаль равна (a,b,c). Из перпендикулярности вектору PQ=(1,0,0) имеем a=0. Из перпендикулярности вектору QM=(0,16,13) получаем b6+c3=0. Берём c=1, b=−2. Подставляя точку Q, имеем
−2(y−12)+z=0,
то есть z=2y−1.

Меньшая часть лежит со стороны C и D. На высоте z её горизонтальное сечение имеет сторону L=1−z и площадь
L·(3L2−1) при 23≤L≤1.
Поэтому её объём равен
∫_(23)¹ L(3L2−1)dL=227.

Объём всей пирамиды равен 13=927, так что второй объём равен 727. Следовательно, искомое отношение равно 2:7.

Ответ: 2:7.