Задание 065E0A: Стереометрия

Пусть O — центр основания, SO — высота пирамиды. Тогда
SO = √SA²−OA² = √9²−5² = 2√14.

Расположим основание в плоскости z=0:
A(5,0,0), B(52,5√32,0), C(−52,5√32,0), D(−5,0,0), S(0,0,2√14).
Так как AM=1 и AB=5, то M(92,√32,0).

Пусть K лежит на SC, причём K=S+t(C−S). Тогда
K(−5t2, 5√3t2, 2√14(1−t)).
Из условия MK=KD после возведения в квадрат получаем:
MK² = 77−97t+81t²,
KD² = 81−137t+81t².
Следовательно, 40t=4, то есть t=110.

Пусть H — ортогональная проекция K на плоскость основания. Тогда
H(−14,√34,0).
Но это середина отрезка DM, так как середина D(−5,0,0) и M(92,√32,0) также имеет координаты (−14,√34,0). Поэтому H∈DM, а KH ⟂ (ABC). Прямая KH лежит в плоскости DKM, следовательно, (DKM) ⟂ (ABC).

Длина DM равна √91. Кроме того,
KH = (1−110)·SO = 9√145.
Значит,
S_DKM = 12·DM·KH = 12·√91·9√145 = 63√2610.

Ответ: 63√2610.