Задание 429E53: Стереометрия

а) По теореме Пифагора:
AB²=DA²+DB², BC²=DB²+DC², AC²=DA²+DC².
Все три левые части равны 50, поэтому DA=DB=DC=5. Основание ABC равностороннее, а боковые рёбра равны, следовательно, пирамида правильная.

б) Возьмём D(0,0,0), A(5,0,0), B(0,5,0), C(0,0,5). Так как DM:MA=DN:NC=2:3, то M(2,0,0), N(0,0,2).

Получаем:
MN=2√2,
BM=BN=√5²+2²=√29.
Треугольник MNB равнобедренный. Его высота, опущенная из B на MN, равна
√BM²−(MN2)²=√29−2=3√3.

Следовательно,
S_MNB=12·2√2·3√3=3√6.

Ответ: 3√6.