Задание EA7D2B: Планиметрия

а) Точка B₁ — середина гипотенузы AC прямоугольного треугольника AHC, поэтому B₁A=B₁H и ∠B₁HA=∠B₁AH=∠CAH. Аналогично C₁ — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника AHB, поэтому C₁A=C₁H и ∠AHC₁=∠HAC₁=∠HAB.
Следовательно, ∠B₁HC₁=∠B₁HA+∠AHC₁=∠CAH+∠HAB=∠BAC.
Так как A₁B₁∥AB и A₁C₁∥AC, то ∠B₁A₁C₁=∠BAC. Значит, ∠B₁HC₁=∠B₁A₁C₁, поэтому точки A₁, B₁, C₁, H лежат на одной окружности.

б) Пусть BC=a. Тогда ∠ABC=180°−120°−45°=15°. По теореме синусов
AB=a·sin45°sin120°=a√63.
Высота H лежит на стороне BC, поэтому
BH=ABcos15°=a√63·√6+√24=a(3+√3)6.
Так как A₁ — середина BC,
A₁H=BH−a2=a(3+√3)6−3a6=a√36.
При a=6√3 имеем A₁H=6√3·√36=3.

Ответ: 3.