Задание 55B421: Стереометрия

а) Точка K — середина A₁B₁. Поэтому KC₁ — медиана правильного треугольника A₁B₁C₁, а значит, его высота: KC₁⊥A₁B₁.

Кроме того, KC₁ лежит в верхнем основании призмы, поэтому KC₁⊥AA₁. Следовательно, KC₁ перпендикулярен двум пересекающимся прямым A₁B₁ и AA₁ грани ABB₁A₁; значит, KC₁⊥(ABB₁A₁).

Плоскость MKC₁ проходит через M и K и перпендикулярна грани ABB₁A₁. Поэтому она совпадает с заданной плоскостью α. В частности, C₁∈α.

б) Сечение — прямоугольный треугольник MKC₁. Имеем
MA=4, MA₁=8, A₁K=6.
В прямоугольном треугольнике MA₁K:
MK=√8²+6²=10.

В правильном треугольнике A₁B₁C₁ отрезок KC₁ — высота, поэтому
KC₁=12√32=6√3.

Так как KC₁⊥грани ABB₁A₁, а MK лежит в этой грани, KC₁⊥MK. Следовательно,
S_MKC₁=12·MK·KC₁=12·10·6√3=30√3.

Ответ: 30√3.