Задание 9595A4: Планиметрия

а) Точка B₁ — середина гипотенузы AC прямоугольного треугольника AHC, поэтому B₁A=B₁H и ∠B₁HA=∠B₁AH=∠CAH. Аналогично C₁ — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника AHB, поэтому C₁A=C₁H и ∠AHC₁=∠HAC₁=∠HAB.
Следовательно, ∠B₁HC₁=∠B₁HA+∠AHC₁=∠CAH+∠HAB=∠BAC.
Так как A₁B₁∥AB и A₁C₁∥AC, то ∠B₁A₁C₁=∠BAC. Значит, ∠B₁HC₁=∠B₁A₁C₁, поэтому точки A₁, B₁, C₁, H лежат на одной окружности.

б) Пусть BC=a. Тогда ∠ABC=180°−30°−45°=105°. По теореме синусов
AB=a·sin45°sin30°=a√2.
Высота H лежит на продолжении BC за B, поэтому
BH=AB·|cos105°|=a√2·√6−√24=a(√3−1)2.
Точка A₁ — середина BC, значит, A₁B=a2. Следовательно,
A₁H=A₁B+BH=a2+a(√3−1)2=a√32.
При a=4√3 получаем A₁H=4√3·√32=6.

Ответ: 6.