Задание 72412D: Стереометрия

а) Расположим основание в плоскости z=0. Возьмём D(0,0,0), A(−3,0,0), C(−12,√32,0), B(−52,√32,0). Эти координаты задают равнобедренную трапецию с AD=3, BC=2 и ∠ADC=60°.

Пусть высота призмы равна h. Тогда A₁(−3,0,h), D₁(0,0,h),
M(−2,0,h), так как A₁M:M D₁=1:2, и K(0,0,h2).

Векторы
KM=(−2,0,h2), KC=(−12,√32,−h2).
Их сумма равна (−52,√32,0), то есть вектору DB. Следовательно, прямая BD параллельна плоскости MKC.

б) По условию KM⊥KC, поэтому их скалярное произведение равно нулю:
(−2)·(−12)+(h2)·(−h2)=0.
Отсюда 1−h²4=0 и h=2.

При h=2 найдём нормаль плоскости MKC через систему. Векторы KM=(−2,0,1) и KC=(−12,√32,−1) лежат в плоскости. Для нормали n=(u,v,w) получаем
−2u+w=0,
−u2+√3v2−w=0.
Отсюда w=2u и √3v=5u. При u=√3 имеем
n=(√3,5,2√3).
Для угла φ между этой плоскостью и плоскостью основания
tg φ=√nₓ²+nᵧ²|n_z|=√3+25(2√3)=√213.

Ответ: √213.