Задание 7EE2FA: Стереометрия

Пусть L∈BC, M∈AB, N∈AD. По условию
BL:LC=AM:MB=AN:ND=1:2.

а) На ребре CD отметим точку P так, что CP:PD=2:1. Покажем, что она лежит в плоскости LMN. Возьмём точку A за начало отсчёта. Тогда
AM=(13)AB,
AL=(23)AB+(13)AC,
AN=(13)AD,
AP=(13)AC+(23)AD.
Поэтому
ML=AL−AM=(13)(AB+AC),
MN=AN−AM=(13)(AD−AB),
MP=AP−AM=(13)(AC+2AD−AB).
Но MP=ML+2MN. Значит, точка P получается из M сдвигом вдоль направлений ML и MN, то есть P лежит в плоскости LMN.

б) Поместим правильный тетраэдр со стороной 6 в координаты:
A(0,0,0), B(6,0,0), C(3,3√3,0), D(3,√3,2√6).
Тогда
M(2,0,0), L(5,√3,0), N(1,√33,2√63), P(3,5√33,4√63).

Сечение — четырёхугольник MLPN. Разобьём его диагональю MP на два треугольника.

Для треугольника MLP:
ML=2√3, MP=2√5,
ML·MP=8.
Поэтому sin²∠LMP=1−8²(12·20)=1115, и
S(MLP)=12·2√3·2√5·√1115=2√11.

Для треугольника MPN:
MP=2√5, MN=2,
MP·MN=6.
Поэтому sin²∠PMN=1−6²(20·4)=1120, и
S(MPN)=12·2√5·2·√1120=√11.

Следовательно,
S(MLPN)=2√11+√11=3√11.

Ответ: 3√11.