Задание A003CB: Планиметрия

а) Выберем координаты C(0;0), A(6;0), B(0;8). Тогда
M(3;4), N(0;4), K(0;2),
поскольку M и N — середины, а CK:KB=1:3.
Вычислим длины по формуле расстояния:
AN²=(6−0)²+(0−4)²=36+16=52,
KM²=(3−0)²+(4−2)²=9+4=13.
Значит, AN²=4KM², а потому AN=2KM.

б) Прямая AN имеет уравнение y=4−23x, а прямая KM — уравнение y=2+23x. Для их точки пересечения P получаем
4−23x=2+23x,
12−2x=6+2x,
x=32, y=3.
Следовательно, P(32;3). Тогда
BP=√(32−0)²+(3−8)²=√94+25=√1094=√1092.

Ответ: √1092.