Задание AA7FF7 по планиметрии

а) Точки B, C, B₁ и C₁ лежат на одной окружности. Так как A, B, C₁ лежат на одной прямой, а A, C, B₁ — на одной прямой, то ∠BAC=∠B₁AC₁.

Углы ∠CB₁C₁ и ∠CBC₁ — противоположные углы вписанного четырёхугольника BCB₁C₁, поэтому их сумма равна 180°. Лучи B₁A и B₁C противоположны, следовательно,
∠AB₁C₁=180°−∠CB₁C₁=∠CBC₁=∠ABC.
Значит, △ABC∼△AB₁C₁ по двум углам.

б) Обозначим площадь △AB₁C₁ через S. По условию площадь четырёхугольника BCB₁C₁ равна 5S, поэтому
S_ABC=S+5S=6S.
Пусть k — коэффициент подобия △ABC к △AB₁C₁. Тогда k²=6, откуда k=√6. Следовательно,
BC=√6·B₁C₁=5√6.

Найдём радиус окружности. Пусть AB₁=x. По подобию AB=√6x. В треугольнике ABB₁ угол BAB₁ равен 30°, поэтому по теореме косинусов
BB₁²=(√6x)²+x²−2·√6x·x·cos30°
=(7−3√2)x².
Следовательно, BB₁=x√7−3√2.

По теореме синусов в треугольнике ABB₁
sin∠AB₁B=AB·sin30°BB₁=√62√7−3√2.
Углы AB₁B и BB₁C смежные, поэтому их синусы равны. Значит,
sin∠BB₁C=√62√7−3√2.

В треугольнике BB₁C данная окружность является описанной. По теореме синусов
BC=2R·sin∠BB₁C.
Поэтому
R=5√7−3√2.

Ответ: 5√6; 5√7−3√2.