Задание 142CDC по стереометрии

а) Проведём через N прямую, параллельную BC; она пересечёт AB в точке M. Через K проведём прямую, параллельную BC; она пересечёт SB в точке P. Плоскость MNP содержит KN и параллельна BC, следовательно, это и есть плоскость α.

Из DN:NC=1:2 получаем AM:MB=1:2. Аналогично из SK:KC=1:2 получаем SP:PB=1:2. Поэтому в треугольнике SAB точки M и P делят стороны AB и SB в одинаковом отношении, считая от B; значит, MP∥SA. Следовательно, SA∥α.

б) Прямая MN∥AD, а MP∥SA. Значит, плоскость α параллельна грани SAD. Поэтому искомый угол равен углу между гранями SAD и SBC.

Пусть O — центр основания, F — середина BC. По симметрии этот угол равен 2∠FSO. В равнобедренном треугольнике SBC:
SF=√SB²−BF²=√7²−3²=2√10.
Треугольник SOF прямоугольный, OF=3, поэтому
sin∠FSO=OFSF=3(2√10).

Следовательно, искомый угол равен
2arcsin(3(2√10)).

Ответ: 2arcsin(3(2√10)).