Задание BCEB84 по стереометрии

Используем аффинные координаты относительно вершин A, B, C, S: координаты точки — коэффициенты при этих вершинах, их сумма равна 1. Такой способ сохраняет прямые, пересечения и отношения на рёбрах.

M=(12,12,0,0), K=(0,0,12,12), N=(14,0,0,34).
Пусть t=BLBC. Тогда L=(0,1−t,t,0).

Точка T пересечения MK и NL имеет два представления:
T=M+u(K−M)=N+v(L−N).
Сравнение координат при A и S даёт
(1−u)2=(1−v)4, u2=3(1−v)4.
Отсюда u=34, v=12. Сравнивая координаты при B, получаем
18=(12)(1−t), поэтому t=34.
Значит, BL:LC=3:1.

а) После найденного отношения L=(0,14,34,0). Рассмотрим точку
F=2N−M=(0,−12,0,32).
Так как ненулевые координаты F относятся только к B и S, то F лежит на прямой SB. Кроме того,
F=K−2(L−K),
то есть F лежит на KL; и F=2N−M лежит на MN. Следовательно, прямые MN, KL и SB проходят через одну точку F.

б) BL:LC=3:1.

Ответ: 3:1.