Задание 9A3AF9 по стереометрии

Обозначим O центр основания, а H — точку пересечения прямых CO и MD. Для схемы введём также Q=α∩SB. Тогда M — середина AB, K∈SC, а сечение пирамиды плоскостью α имеет контур M–Q–K–D.

Поскольку плоскость α перпендикулярна плоскости основания, её пересечение с основанием — прямая MD. Следовательно, KH∥SO и KH⊥(ABCDEF).

В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне: CO=2. Из подобия треугольников, образованных диагоналями правильного шестиугольника, получаем OH=12, поэтому CH=32. Кроме того, H — середина MD.

Треугольники CKH и CSO подобны, так как KH∥SO. Поэтому
CKCS=CHCO=(32):2=34,
откуда CK=34·8=6.

а) Прямая KH перпендикулярна MD и проходит через её середину H. Значит, KH — серединный перпендикуляр к MD в плоскости α, поэтому KM=KD.

б) Высота исходной пирамиды:
SO=√SA²−OA²=√64−4=2√15.
Из подобия KH=34·SO=3√152.

Площадь треугольника CDM в основании равна 3√32 (например, по формуле площади через координаты вершин правильного шестиугольника).
Тогда высотой пирамиды CDKM является KH, и
V=13·S(CDM)·KH=13·(3√32)·(3√152)=9√54.

Ответ: 9√54.