Задание 6BFFF1: Стереометрия

Поместим основание правильной треугольной призмы в плоскость z=0:
A(0,0,0), B(4,0,0), C(2,2√3,0).
Тогда A₁(0,0,4), B₁(4,0,4), C₁(2,2√3,4), а K — середина A₁B₁, то есть K(2,0,4).

Плоскость AKC пересекает ребро B₁C₁ в его середине L(3,√3,4). Значит, сечение — четырёхугольник ACKL.

AC∥KL, поскольку оба отрезка лежат соответственно в параллельных основаниях. При этом
AC=4, KL=2,
AK=√2²+4²=2√5,
CL=√1²+(√3)²+4²=2√5.
Следовательно, ACKL — равнобедренная трапеция.

Для нахождения расстояния от B до плоскости AKC выпишем её из координат. Так как она проходит через A(0,0,0), её уравнение имеет вид ax+by+cz=0. Векторы AK=(2,0,4) и AC=(2,2√3,0) лежат в плоскости, поэтому
2a+4c=0,
2a+2√3b=0.
Берём c=√3. Тогда a=−2√3, b=2, и уравнение плоскости имеет вид
−2√3x+2y+√3z=0.

Расстояние от B(4,0,0) до этой плоскости равно
|−2√3·4|√(−2√3)²+2²+(√3)²=8√3√19=8√5719.

Ответ: 8√5719.