Задание FA228B по стереометрии

Введём координаты: A(−a,0,0), B(a,0,0), C(0,c,0); высота призмы равна h. Тогда A₁, B₁, C₁ получаются прибавлением координаты z=h.

Точки имеют координаты
P(−a2,0,0), Q(−a2,c2,h), M(a2,c2,0).
По условию PQ перпендикулярен плоскости α, поэтому
PQ=(0,c2,h)
— её нормальный вектор. Плоскость проходит через M, следовательно,
(0,c2,h)·((x,y,z)−(a2,c2,0))=0.
Умножая на 2, получаем
c(y−c2)+2hz=0.

а) Точка X ребра AC имеет вид X(−a+at,ct,0). Подстановка в уравнение α даёт
c²(t−12)=0, значит, t=12.
Следовательно, X — середина AC.

б) Точка Y ребра A₁C₁ имеет координаты Y(−a+at,ct,h). Из уравнения плоскости:
c²(t−12)+2h²=0,
поэтому t=12−2h²c².

По условию h=AA₁=AB=2a, а BC=5a. В прямоугольном треугольнике с катетами a и c:
c²=BC²−a²=25a²−a²=24a².
Значит,
t=12−2·4a²(24a²)=16.
Итак, A₁Y:YC₁=1:5.

Ответ: 1:5.