Задание 0E9DD3: Планиметрия

а) Пусть ∠ABC=α. Тогда ∠BAC=2α. Центральный угол ∠AOC, опирающийся на ту же дугу AC, равен 2α. Так как A, O, C, P лежат на одной окружности, то ∠APC=∠AOC=2α. Кроме того, ∠PAC=∠ABC=α по подобию △PAC и △ABC, доказанному по углам ∠APC=∠BAC и ∠ACP=∠ACB.
Поэтому ∠PAB=∠BAC−∠PAC=2α−α=α. Но ∠ABP=∠ABC=α, так как B, P, C лежат на одной прямой. Значит, в треугольнике APB равны углы при A и B, следовательно, AP=BP.

б) Обозначим a=BC, b=AC, c=AB. По теореме синусов при ∠B=α имеем
ab=sin(2α)sin α=2cos α,
cb=sin(3α)sin α=4cos²α−1.
Значит,
b+c=b+b(4cos²α−1)=4b cos²α,
a²=(2b cos α)²=4b²cos²α=b(b+c).
Подставляем b=4, c=7:
BC²=4(4+7)=44,
BC=√44=2√11.

Ответ: 2√11.