Задание 16C715: Стереометрия

а) По условию MB₁KD — ромб, поэтому MB₁=MD. Рассмотрим прямоугольные треугольники AMD и A₁MB₁. В них AD=A₁B₁ как стороны правильной призмы, а MD=MB₁ как стороны ромба. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету, откуда AM=A₁M. Значит, M — середина AA₁.

б) Аналогично K — середина CC₁. Поэтому MK параллелен диагонали AC основания и равен ей. Площадь основания равна 3, следовательно, сторона квадрата равна √3, а
MK=AC=BD=√6.

Сечение MB₁KD — ромб; его диагонали MK и B₁D. По формуле площади ромба:
6=12·MK·B₁D=12·√6·B₁D,
поэтому B₁D=2√6.

В прямоугольном треугольнике B₁BD:
B₁D²=BD²+h²,
24=6+h²,
h²=18.
Следовательно, h=3√2.

Ответ: 3√2.