Задание C84642: Стереометрия

Так как AC — диаметр основания, треугольник ABC прямоугольный с прямым углом B. При ∠ACB = 45° он равнобедренный, поэтому AB = BC = 2√3, AC = 2√6. Радиус цилиндра равен √6, а высота CC₁ = 2√6.

а) Угол между прямыми

Выберем координаты: A(−√6,0,0), C(√6,0,0), B(0,√6,0), C₁(√6,0,2√6). Направляющие векторы AC₁ и BC пропорциональны (1,0,1) и (1,−1,0). Их скалярное произведение равно 1, а длины равны √2 и √2, поэтому cos угла между прямыми равен 12. Следовательно, угол равен 60°.

б) Способ 1. Координатное решение

Найдём расстояние от B до прямой AC₁. Точка этой прямой имеет вид
X(t)=A+t(C₁−A)=(−√6+2√6t,0,2√6t).
Тогда
BX(t)²=6(1−2t)²+6+24t²
=48(t−14)²+9.
Наименьшее значение равно 9, поэтому расстояние от B до прямой AC₁ равно 3.

Искомое расстояние равно 3.

б) Способ 2. Геометрическое решение через площадь треугольника

Рассмотрим треугольник ABC₁. Как установлено выше, угол ABC прямой, AB=BC=2√3, AC=2√6.

Докажем, что AB⊥BC₁. Образующая CC₁ перпендикулярна плоскости основания ABC, поэтому проекцией наклонной BC₁ на эту плоскость является отрезок BC. Прямая AB лежит в плоскости основания и перпендикулярна BC. По теореме о трёх перпендикулярах AB⊥BC₁. Значит, треугольник ABC₁ прямоугольный с прямым углом B.

Найдём его стороны. В прямоугольном треугольнике BCC₁ по теореме Пифагора:
BC₁²=BC²+CC₁²=(2√3)²+(2√6)²=12+24=36,
BC₁=6.
Аналогично, из прямоугольного треугольника ACC₁:
AC₁²=AC²+CC₁²=24+24=48,
AC₁=4√3.

Опустим из B перпендикуляр BH на гипотенузу AC₁, где H — основание перпендикуляра. По определению искомое расстояние от точки B до прямой AC₁ равно BH.

Вычислим площадь треугольника ABC₁ двумя способами: через его катеты и через гипотенузу с проведённой к ней высотой:
S=AB·BC₁2=AC₁·BH2.
Следовательно,
BH=AB·BC₁AC₁=2√3·64√3=3.

Проверка: площадь через катеты равна 6√3; через гипотенузу и найденную высоту получаем 4√3·32=6√3. Оба способа дают одинаковую площадь и тот же ответ, что и координатное решение.

Ответ к пункту б: 3.

Второе решение добавлено по просьбе посетителя сайта.