Задание 69A4ED: Стереометрия

а) AM:MB=AK:KD=2:1, поэтому MK∥BD, а треугольники AMK и ABD подобны с коэффициентом 2:3. Их площади относятся как 4:9. Две части тетраэдра имеют общую высоту из C, поэтому объёмы относятся как площади трапеции BMKD и треугольника AMK, то есть 5:4.

б) Пусть T — середина BD, L=AT∩MK. Плоскость ACT перпендикулярна MK, поэтому искомый угол равен углу ACL. AT=CT=3√3, AL=2√3. По теореме косинусов CL=2√6, затем cos∠ACL=(36+24−12):(2·6·2√6)=√6:3. Ответ: √63.