Задание 8E946E: Планиметрия

а) Пусть AC=2a, высота из B равна h. Так как треугольник остроугольный, h>a. Введём L=a²+h² и q=h²−a². В координатах A(−a;0), C(a;0), B(0;h) основания перпендикуляров и точка H имеют координаты
H(aqL; 2a²hL), T(−aqL; 2a²hL),
M(−aq²L²; 4a²h³L²), K(aqL;0).
Отсюда TH=2aqL. Уравнения прямых CT и MK дают
E=M+qh²(K−M).
При этом MK=2ah²L, поэтому
ME=qh²·MK=qh²·2ah²L=2aqL=TH.

б) Здесь AC=6, AB=BC=5, поэтому можно взять A(−3;0), C(3;0), B(0;4). Последовательное проектирование на прямые BC, AB и AC даёт
H(2125;7225), M(−147625;2304625), K(2125;0), T(−2125;7225).
Пересекая прямые CT и MK, получаем E(147625;1296625). Поэтому
EK=√(2125−147625)²+(1296625−0)²
=√(378625)²+(1296625)²=√1822500625=5425.

Ответ: 5425.