Задание 9B8297 по стереометрии

а) Плоскости PAB и PCD пересекают плоскость основания по прямым AB и CD. Точка K принадлежит обеим этим прямым, поэтому угол между плоскостями равен углу между прямыми AB и CD, то есть ∠AKD.

В треугольнике AKD углы при A и D равны соответственно ∠BAD и ∠ADC; по условию их сумма равна 90°. Следовательно, ∠AKD=90°, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны.

б) В треугольнике KAD отрезок BC параллелен AD. Так как AB=CD=4, из подобия треугольников KBC и KAD получаем KB=KC. Поэтому треугольник KAD равнобедренный; его углы при A и D равны, а их сумма 90°, значит, каждый равен 45°. Следовательно, KAD — равнобедренный прямоугольный треугольник.

Пусть KB=KC=x. Тогда BC — гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника KBC, поэтому
4=BC=x√2,
x=2√2.
Площадь треугольника KBC:
S_KBC=12·(2√2)²=4.

Высота пирамиды KBCP равна высоте исходной пирамиды, то есть 9. Поэтому
V_KBCP=13·S_KBC·9=13·4·9=12.

Ответ: 12.