Задание EA6B32: Стереометрия

Положим A(0,0,0), B(5,0,0), D(0,2√14,0), C(5,2√14,0). Так как BD = 9, высота пирамиды равна √5²−(92)² = √192, поэтому S(52,√14,√192).

Точка E делит BD так, что BE = 4: E(259,8√149,0). Из SF = 4 и SA = 5 получаем F = 15S = (12,√145,√1910).

Выведем уравнение плоскости CEF. В ней лежат векторы
CE=(−209,−10√149,0), CF=(−92,−9√145,√1910). Пусть нормаль равна n=(u,v,w). Она перпендикулярна обоим этим векторам, поэтому её скалярные произведения с ними равны нулю:
n·CE=−209u−10√149v=0,
n·CF=−92u−9√145v+√1910w=0.
Первое равенство умножим на −910. Получаем систему
2u+√14v=0,
−92u−9√145v+√1910w=0.
Нормаль можно умножать на любое ненулевое число, поэтому для удобства положим v=−2. Тогда из первого уравнения u=√14. Подставляем это и v=−2 во второе:
−9√142+18√145+√1910w=0,
−45√14+36√14+√19w=0,
w=9√14√19.
Поэтому, подставляя точку C(5,2√14,0), получаем
√14(x−5)−2(y−2√14)+9√14√19z=0,
то есть √14·x−2y−√14+9√14√19z=0.
Для направляющего вектора SB=(52,−√14,−√192) левая часть без свободного члена равна 0. При этом точка B плоскости не принадлежит, следовательно, SB ∥ (CEF).

Пусть Q = S + t(D−S). Подстановка в уравнение плоскости даёт
4−9t=0,
откуда t=49. Тогда zQ=(1−49)·√192=5√1918. Это и есть расстояние от Q до плоскости ABC.