Задание 17B23F: Стереометрия

а) Пусть AB=a, BC=b, AA₁=h. Плоскость α, содержащая BD₁ и параллельная AC, пересекает рёбра AA₁ и CC₁ в их серединах M и N. Сечение имеет вид BMD₁N.

Его соседние стороны имеют длины
BM=√a²+h²4,
MD₁=√b²+h²4.
Так как сечение — ромб, BM=MD₁. Следовательно, a=b, то есть грань ABCD — квадрат.

б) Теперь a=b=4, h=6. Возьмём координаты B(4,0,0), D₁(0,4,6). Направляющие векторы плоскости α:
BD₁=(−4,4,6), AC=(4,4,0).
Найдём нормаль α=(u,v,w) из условий её перпендикулярности двум направляющим векторам:
−4u+4v+6w=0,
4u+4v=0.
Из второго уравнения v=−u, после подстановки в первое получаем w=4u3. При u=−3 имеем нормаль α=(−3,3,−4).

Нормаль к грани BCC₁ — вектор (1,0,0). Поэтому для угла φ между плоскостями
cos φ=3√3²+3²+4²=3√34.

Ответ: arccos(3√34).