Задание A2B731 по стереометрии

а) Так как KLMN — квадрат, то KN∥LM и KL∥MN.

Прямая KN лежит в плоскости ABC. Следовательно, параллельная ей прямая LM, лежащая в плоскости ADB, параллельна плоскости ABC. Плоскости ABC и ADB пересекаются по прямой AB, поэтому LM∥AB.

Аналогично, MN лежит в плоскости BCD, а KL лежит в плоскости ACD; из MN∥KL получаем KL∥CD. Стороны квадрата LM и KL перпендикулярны, значит, AB⊥CD.

б) В треугольнике ACD из KL∥CD получаем
AKAC=ALAD=25.
Поэтому DLDA=35. Из LM∥AB в треугольнике DAB следует
DMDB=DLDA=35,
то есть BMBD=25.

Из KN∥AB в треугольнике CBA имеем
CNCB=CKCA=35,
поэтому BNBC=25. Следовательно, треугольники BMN и BDC подобны с коэффициентом 25.

Высота пирамиды KBCD, проведённая из K, составляет 35 высоты пирамиды ABCD, так как CK:CA=3:5. Поэтому
V_KBCD=35·25=15.
Пирамиды KBNM и KBCD имеют общую вершину K, а площади их оснований относятся как
S_BMN:S_BCD=(25)²=4:25.
Значит,
V_KBNM=425·15=125.

Треугольник KMN прямоугольный с катетами 2 и 2, поэтому S_KMN=2. Расстояние от B до плоскости KLM равно высоте пирамиды BKMN:
d(B,(KLM))=3V_BKMNS_KMN=3·(125)2=185.

Ответ: 185.