Задание F416AF: Стереометрия

а) Введём координаты: A(0,0,0), B(6,0,0), C(3,3√3,0); боковые рёбра направлены вдоль оси z и имеют длину 4. Тогда
M(0,0,3), N(6,0,3).

Точка пересечения медиан треугольника CMN имеет координаты
G((3+0+6)3, (3√3+0+0)3, (0+3+3)3)=(3,√3,2).
Центр O описанной окружности треугольника ABC равен (3,√3,0), а центр O₁ верхнего основания равен (3,√3,4). Поэтому G лежит на прямой OO₁.

б) Выведем уравнение плоскости CMN. Вектор MN=(6,0,0) лежит в этой плоскости, поэтому её нормаль имеет вид (0,b,c). Ещё один направляющий вектор:
CM=(−3,−3√3,3).
Условие перпендикулярности нормали и CM даёт
−3√3b+3c=0,
c=√3b.
Берём b=1, c=√3, поэтому нормаль плоскости равна (0,1,√3). Возьмём произвольную точку X(x,y,z) плоскости CMN. Тогда вектор
MX=(x,y,z−3)
лежит в плоскости и перпендикулярен её нормали. Значит,
(0,1,√3)·(x,y,z−3)=0,
y+√3(z−3)=0,
то есть y+√3z=3√3.

Для C₁(3,3√3,4) расстояние до этой плоскости равно
|3√3+√3·4−3√3|√1²+(√3)²
=4√32=2√3.

Ответ: 2√3.