Задание 8EEB4F по стереометрии

ФИПИ · темы 7.2–7.5 · развёрнутый ответ · 66 заданий Решение опубликовано — перейти к ответу ↓ Ошибка или пожелание
Дайте развернутый ответ.

В основании пирамиды SABCD  лежит трапеция ABCD  с основаниями AD  
и BC,  равными 8 и 3 соответственно. Точки M  и N  лежат на рёбрах SD  
и BC  соответственно, причём SM:MD=3:2,   BN:NC=1:2.
Плоскость AMN  пересекает ребро SC  в точке K.

а) Докажите, что SK:KC=6:1.

б) Плоскость AMN  делит пирамиду SABCD  на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.


 

i
СВОЙСТВА ЗАДАНИЯ
КЭС:
7.3 Многогранники
Тип ответа:Развернутый ответ
Номер: 8EEB4F
НЕ РЕШЕНО Изменить статус

Решение задания 8EEB4F

Ответ: 27:28

Работаем в аффинных координатах с началом в S. Так как AD ∥ BC и AD:BC = 8:3, а M = (35)D и N = (23)B+(13)C, из условия принадлежности K плоскости AMN получаем K = (67)C. Следовательно, SK:KC = 6:1.

Проведём диагональ AC. Объёмы пирамид SABC и SACD относятся как площади треугольников ABC и ACD, то есть как BC:AD = 3:8. Обозначим их объёмы через 3x и 8x.

В тетраэдре SABC плоскость отсекает у вершины B тетраэдр BANK. Его объём равен (BNBC)·(CKCS)·3x = (13)·(17)·3x = x7.

В тетраэдре SACD она отсекает у вершины D тетраэдр DAMK. Его объём равен (DMDS)·(SKSC)·8x = (25)·(67)·8x = 96x35.

Сторона с вершиной B имеет объём x7 + (8x−96x35) = 27x5. Другая сторона имеет объём (3x−x7)+96x35 = 28x5. Значит, многогранники относятся по объёмам как 27:28.

Схема к решению задания 8EEB4F
Обозначения: M∈SD, SM:MD=3:2; N∈BC, BN:NC=1:2; K∈SC, SK:KC=6:1. Сечение проходит через A, M, K и N.

Помочь улучшить сайт

Напишите пожелание к сайту или решению либо сообщите о найденной неточности в задании 8EEB4F.

Сообщение увидит только команда сайта: на странице оно не публикуется.

Комментарии к решению

Комментарии видны всем посетителям сайта.

Комментариев пока нет. Будьте первым.

Чтобы оставить комментарий, войдите или зарегистрируйтесь.