Задание 2AE241: Планиметрия

а) Треугольники AHB₁ и AHC₁ прямоугольные. Кроме того, A₁B₁C₁ — средний треугольник. Равенство углов, получаемое из параллельности его сторон сторонам ABC, даёт ∠A₁HC₁=∠A₁B₁C₁. Следовательно, точки A₁, B₁, C₁, H лежат на одной окружности.

б) Пусть BC=a. По теореме синусов и проекции AC на BC получаем BH=a(3+√3)6. Поэтому A₁H=BH−a2=a√36. При a=2√3 имеем A₁H=1.

Ответ: 1.