Задание A47BE8 по стереометрии

а) Пусть ребро куба равно a. Зададим координаты A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), B₁(a,0,a). Тогда
M(a2,0,0), N(0,a2,0).

Векторы
NB₁=(a,−a2,a), MC=(a2,a,0).
Их скалярное произведение равно a²2−a²2=0. Следовательно, B₁N⊥CM.

б) Плоскость α проходит через N и B₁ и параллельна CM. Пусть её уравнение имеет вид ux+vy+wz+t=0. Направляющие векторы NB₁=(a,−a2,a) и MC=(a2,a,0) лежат в плоскости, поэтому
u−v2+w=0,
u2+v=0.
Из второй строки u=−2v, затем w=5v2. Берём v=2: u=−4, w=5. Подстановка точки N(0,a2,0) даёт t=−a. Следовательно,
−4x+2y+5z−a=0.

Из условия B₁N=6. Но
B₁N=√a²+a²4+a²=3a2,
откуда a=4.

Расстояние от C(a,a,0) до α равно
|−4a+2a−a|√16+4+25=3a(3√5)=a√5=4√55.

Ответ: 4√55.