ED4407 — задание ЕГЭ профиль: стереометрия, ответ и решение

Дайте развернутый ответ.

В основании прямой призмы $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ лежит параллелограмм $A B C D$
с углом $60 °$ при вершине $A .$ На рёбрах $A_{1} B_{1},$ $B_{1} C_{1}$ и $B C$ отмечены
точки $M,$ $K$ и $N$ соответственно так, что четырёхугольник $A M K N$ $—$ равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2.

а) Докажите, что точка $M$ $—$ середина ребра $A_{1} B_{1} .$

б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка $K$ делит ребро $B_{1} C_{1}$ в отношении $B_{1} K : K C_{1} = 2 : 3.$

Решение задания ED4407

Ответ: 2√3

а) Отрезок MK лежит в верхнем основании призмы, а AN — в нижнем, поэтому они не пересекаются. Следовательно, в трапеции AMKN именно MK и AN являются основаниями. По условию их длины равны 1 и 2, то есть MK=AN2.

Продлим боковые стороны AM и KN до пересечения в точке E. В треугольнике AEN отрезок MK — средняя линия. Поэтому M — середина AE, а K — середина NE. Точка E лежит на прямой BB₁. В треугольнике ABE через середину M проведена прямая MB₁, параллельная AB; значит, B₁ — середина BE. Следовательно, A₁M=MB₁, то есть M — середина A₁B₁.

б) Положим B₁K=2x. Тогда KC₁=3x, поэтому B₁C₁=BC=AD=5x. Так как KB₁ — средняя линия треугольника NBE, получаем BN=2KB₁=4x.

Из равенства боковых сторон трапеции AM=KN и доказанного свойства середин следует MB₁=KB₁=2x. Значит, AB=A₁B₁=4x. В треугольнике ABN угол ABN равен 120°, а AN=2. По теореме косинусов:
2²=(4x)²+(4x)²−2·4x·4x·cos120°=48x².
Следовательно, x²=112.

Площадь основания:
S_осн=AB·AD·sin60°=4x·5x·√32=10√3x²=5√36.
Из V=S_осн·h=5 получаем
h=5:(5√36)=2√3.

Ответ: 2√3.

Схема к решению задания ED4407 — Обозначения: M — середина A₁B₁; K∈B₁C₁, B₁K:KC₁=2:3; N∈BC, BN:NC=4:1. AMKN — равнобедренная трапеция сечения.

Помочь улучшить сайт

Напишите пожелание к сайту или решению либо сообщите о найденной неточности в задании ED4407.

Сообщение увидит только команда сайта: на странице оно не публикуется.

КЭС:	7.1 Фигуры на плоскости 7.3 Многогранники
Тип ответа:	Развернутый ответ

Задание ED4407 по стереометрии

Решение задания ED4407

Помочь улучшить сайт

Комментарии к решению