Задание 6B5C41: Стереометрия

Пусть O — центр основания, R — радиус конуса, h — его высота. Угол между образующей и плоскостью основания равен 60°, поэтому hR = tan 60° = √3, а длина образующей l = √R²+h² = 2R.

Пусть θ = ∠AOC. Для угла между SA и SC имеем cos ∠ASC = (h²+R²cos θ)l² = (3+cos θ)4. Так как B — точка, диаметрально противоположная A, cos ∠BSC = (3−cos θ)4. Складывая, получаем cos ∠ASC + cos ∠BSC = 32.

По условию SC = 1, значит 2R = 1, R = 12 и h = √32. Из cos ∠ASC = 23 получаем (3+cos θ)4 = 23, то есть cos θ = −13. В прямоугольном треугольнике ABC: AB = 1, а высота из C на AB равна R·sin θ = √23. Поэтому S(ABC) = √26.

V(SABC) = (13)·S(ABC)·h = (13)·(√26)·(√32) = √636.