Добавленные задачи — неравенства

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года
в размере ${\displaystyle S}$ млн рублей, где ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle —}$ целое число. Условия его возврата таковы:

${\displaystyle —}$ каждый январь долг увеличивается на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

${\displaystyle —}$ в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии
со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение ${\displaystyle S}$, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей.

Решите неравенство

${\displaystyle \frac{{15}^x-3^{x+1}-5^{x+1}+15}{-x^2+2x}\ge 0}$.

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_3\left(9x\right)\cdot {\log }_4\left(64x\right)}{5x^2-\left|x\right|}\le 0}$.

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_{16}\left(x+5\right)+{\log }_{\left(x^2+10x+25\right)}2\ge \frac{3}{4}.}$

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года
в размере ${\displaystyle S}$ млн рублей, где ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle —}$ целое число. Условия его возврата таковы:

${\displaystyle —}$ каждый январь долг увеличивается на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

${\displaystyle —}$ в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии
со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение ${\displaystyle S}$, при котором каждая из выплат будет меньше 4 млн рублей.

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_{49}\left(x+4\right)+{\log }_{\left(x^2+8x+16\right)}\sqrt{7}\le -\frac{3}{4}.}$

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 6 млн рублей.

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_2\left(8x\right)\cdot {\log }_3\left(27x\right)}{x^2-\left|x\right|}\le 0}$.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок
10 лет. Условия возврата таковы:

${\displaystyle —}$ каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку ${\displaystyle r}$, если известно, что последний платёж будет не менее 0,819 млн рублей.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей на срок
10 лет. Условия его возврата таковы:

${\displaystyle —}$ каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку ${\displaystyle r}$, если известно, что последний платёж будет не менее 0,92 млн рублей.

Решите неравенство

${\displaystyle \frac{{10}^x-25\cdot 2^x-2\cdot 5^x+50}{5x-x^2-4}\ge 0}$.

Решите неравенство $\frac{2}{3^x+27}\ge \frac{1}{3^x-27}$.

а) Решите уравнение

${\displaystyle 8^x-3\cdot 2^{x+2}+2^{5-x}=0}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[{\log }_{4}5;\sqrt{3}\right]}$.

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_5\left(3x+1\right)+{\log }_5\left(\frac{1}{72x^2}+1\right)\ge {\log }_5\left(\frac{1}{24x}+1\right)}$.

а) Решите уравнение

${\displaystyle {16}^{\sin x}\text{}+{16}^{\sin \left(x+\text{π}\right)}=\frac{17}{4}}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\frac{3\text{π}}{2};3\text{π}\right]}$.

Решите неравенство .

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{2^{3x}-2\cdot 4^{x+1}+5\cdot 2^{x+2}-16}{x-1}\ge 0.}$ 

Решите неравенство $\frac{4^x\text{}-3\cdot 2^{x+1}+4}{2^x\text{}-5}+\frac{3\cdot 2^{x+1}-46}{2^x\text{}-8}\le 2^x+5.$

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_5\left(\frac{2}{x}+2\right)-{\log }_5\left(x+3\right)\le {\log }_5\left(\frac{x+6}{x^2}\right)}$.

Решите неравенство $\frac{{\log }_2{x}^2-{\log }_3{x}^2}{{\log }_6^2\left(2x^2-10x+\mathrm{12,5}\right)+1}\ge 0.$

Решите неравенство ${\displaystyle 2{\log }_2\left(x\sqrt{5}\right)-{\log }_2\left(\frac{x}{1-x}\right)\le {\log }_2\left(5x^2+\frac{1}{x}-2\right)}$.

а) Решите уравнение

$\cos 2x+\cos \left(-x\right)=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\text{7π}}{2};-\text{2π}\right].$

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_2^2\left(25-x^2\right)-7{\log }_2\left(25-x^2\right)+12\ge 0}$.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят ${\displaystyle t^2}$ тыс. рублей в конце года ${\displaystyle t}$ ( ${\displaystyle t=1;2;\dots }$ ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 10%.
В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей?

а) Решите уравнение

${\displaystyle 8^x-9\cdot 2^{x+1}+2^{5-x}=0}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[{\log }_{5}2;{\log }_{5}20\right]}$.

а) Решите уравнение

$\cos 2x+\sqrt{3}\sin \left(\frac{\text{π}}{2}+x\right)+1=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\text{π};-\frac{3\text{π}}{2}\right]$.

Решите неравенство .

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_2\left(4x^2-1\right)-{\log }_{2}x\le {\log }_2\left(5x+\frac{9}{x}-11\right)}$.

Решите неравенство $\frac{8^{x+1}-40}{2\cdot {64}^x-32}\le 1.$

а) Решите уравнение

${16}^{\sin x}\text{}-6\cdot 4^{\sin x}\text{}+8=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-5\text{π};-\frac{\text{7π}}{2}\right].$

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{3\cdot {27}^x-9^{x+1}+3^{x+2}-3}{50x^2-30x+\mathrm{4,5}}\ge 0.}$ 

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_{8}x}{{\log }_8\left(\frac{x}{64}\right)}\ge \frac{2}{{\log }_{8}x}+\frac{3}{{\log }_8^{2}x-{\log }_8{x}^2}}$.

а) Решите уравнение

$2{\sin }^2\text{}\left(\frac{\text{π}}{2}-x\right)+\sin 2x=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\text{π};\frac{9\text{π}}{2}\right]$.

Решите неравенство .

Решите неравенство $\frac{2\cdot 8^{x-1}}{2\cdot 8^{x-1}-1}\ge \frac{3}{8^x-1}+\frac{8}{{64}^x-5\cdot 8^x+4}.$

Решите неравенство $\frac{13}{3^x-81}\le \frac{1}{3^x-9}$.

а) Решите уравнение

${\displaystyle {27}^x-4\cdot 3^{x+2}+3^{5-x}=0}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[{\log }_{7}4;{\log }_{7}16\right]}$.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят ${\displaystyle t^2}$ тыс. рублей в конце года ${\displaystyle t}$ ( ${\displaystyle t=1;2;\dots }$ ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в ${\displaystyle 1+r}$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы
в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях ${\displaystyle r}$ это возможно?

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года.
Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 20 млн рублей.

Решите неравенство $\frac{{\log }_2\left(2-x\right)-{\log }_2\left(x+1\right)}{{\log }_2^2{x}^2+{\log }_2{x}^4+1}\ge 0.$

а) Решите уравнение

$\cos 2x-3\sin \left(-x\right)-2=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\text{3π};\frac{\text{9π}}{2}\right].$

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_5\left(\left(3-x\right)\left(x^2+2\right)\right)\ge {\log }_5\left(x^2-7x+12\right)+{\log }_5\left(5-x\right)}$.

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{2{\log }_3\left(9x\right)-13}{{\log }_3^{2}x-{\log }_3{x}^4}\le 1}$.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решите неравенство $\frac{8^{x+\frac{2}{3}}-9\cdot 4^{x+\frac{1}{2}}+13\cdot 2^x-13}{4^{x+\frac{1}{2}}\text{}-9\cdot 2^x+4}\le 2^{x+1}-\frac{1}{2^x\text{}-2}+\frac{3}{2^{x+1}\text{}-1}.$

Решите неравенство ${\log }_4\left(\left(x-5\right)\left(x^2-2x-15\right)\right)+1\ge \mathrm{0,5}{\log }_2{\left(x-5\right)}^2.$

Решите неравенство $\frac{4}{3^x-27}\ge \frac{1}{3^x-9}$.

а) Решите уравнение

${\displaystyle {\left(\frac{1}{49}\right)}^{\sin \left(x+\pi \right)}\text{}=7^{2\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)}}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[3\pi ;\frac{\text{9π}}{2}\right]}$.

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_2\left(4x^2\right)+35}{{\log }_2^{2}x-36}\ge -1}$.

а) Решите уравнение

${\displaystyle {27}^x-28\cdot 3^{x+1}+3^{5-x}=0}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\sqrt{3};{\log }_{2}5\right]}$.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Решите уравнение

$\sin 2x+2\sin \left(-x\right)+\cos \left(-x\right)-1=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\text{2π};\frac{\text{7π}}{2}\right].$

Решите неравенство ${\log }_{11}\left(2x^2+1\right)+{\log }_{11}\left(\frac{1}{32x}+1\right)\ge {\log }_{11}\left(\frac{x}{16}+1\right).$

Решите неравенство $\frac{4}{{\log }_{2}x}-{\log }_2\left(\frac{4}{x}\right)\le \frac{38}{{\log }_2{x}^2}.$

а) Решите уравнение

$\sqrt{3}{\mathrm{tg}}^2\text{}x-4\mathrm{tg}x+\sqrt{3}=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\text{π};\frac{5\text{π}}{2}\right]$.

а) Решите уравнение

${\displaystyle {16}^{\cos x}\text{}+{16}^{\cos \left(\text{π}-x\right)}=\frac{17}{4}}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\text{π};\frac{5\text{π}}{2}\right]}$.

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_3^2\left(x^2-16\right)-5{\log }_3\left(x^2-16\right)+6\ge 0}$.

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{27}^x-9^{x+1}+3^{x+3}-27}{50x^2-110x+\mathrm{60,5}}\ge 0.}$ 

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Решите уравнение

$2{\sin }^2\text{}\left(\frac{3\text{π}}{2}+x\right)+\cos \left(\text{π}-x\right)=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\text{π};-\frac{\text{π}}{2}\right]$.

а) Решите уравнение

$\cos 2x-\sqrt{2}\cos \left(\frac{3\text{π}}{2}+x\right)-1=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\text{π}}{2};3\text{π}\right]$.

Решите неравенство ${\displaystyle 1+\frac{6}{{\log }_{3}x-3}+\frac{5}{{\log }_3^{2}x-{\log }_3\left(27x^6\right)+12}\ge 0}$.

Решите неравенство .

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_3\left(81x\right)}{{\log }_{3}x-4}+\frac{{\log }_{3}x-4}{{\log }_3\left(81x\right)}\ge \frac{24-{\log }_3{x}^8}{{\log }_3^{2}x-16}}$.

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{3^{3x}-15\cdot 9^x+7\cdot 3^{x+2}-81}{x-1}\le 0.}$ 

а) Решите уравнение

$\sin 2x-\sin \left(-x\right)+2\cos \left(-x\right)+1=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\text{3π}}{2};\text{3π}\right].$

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_{11}\left(8x^2+7\right)-{\log }_{11}\left(x^2+x+1\right)\ge {\log }_{11}\left(\frac{x}{x+5}+7\right)}$.

а) Решите уравнение

$2\sqrt{3}{\sin }^2\text{}\left(x+\frac{\text{3π}}{2}\right)+\sin 2x=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\text{π};-\frac{\text{5π}}{2}\right]$.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_3\left(\left(2-x\right)\left(x^2+5\right)\right)\ge {\log }_3\left(x^2-5x+6\right)+{\log }_3\left(4-x\right)}$.

Решите неравенство ${\displaystyle 1+\frac{5}{{\log }_{4}x-3}+\frac{6}{{\log }_4^{2}x-{\log }_4\left(64x^6\right)+12}\ge 0}$.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Решите уравнение

$2{\sin }^{2}x+\cos \left(-x\right)-1=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\text{9π}}{2};-3\text{π}\right].$

а) Решите уравнение

$2{\cos }^{2}x+3\sin \left(-x\right)-3=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\text{2π};\frac{\text{7π}}{2}\right].$

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{25x^2-120x+144}{{\log }_2\left(4^x-8\right)-{\log }_2\left(2^{x+1}\right)}\le 0.}$ 

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_2^2\left(x^2-9\right)-9{\log }_2\left(x^2-9\right)+20\ge 0}$.

Решите неравенство $\frac{x^3+x^2-x-1}{4^{x^2}-8\cdot 2^{x^2}+16}\ge 0.$

Решите неравенство .

Решите неравенство ${\displaystyle 1+\frac{10}{{\log }_{2}x-5}+\frac{16}{{\log }_2^{2}x-{\log }_2\left(32x^{10}\right)+30}\ge 0}$.

Решите неравенство $3^x+\frac{243}{3^x-84}\le 0$.

а) Решите уравнение

${\displaystyle 9\cdot {81}^{\cos x}\text{}-28\cdot 9^{\cos x}\text{}+3=0}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\frac{5\text{π}}{2};4\text{π}\right]}$.

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_3^2\left(25-x^2\right)-3{\log }_3\left(25-x^2\right)+2\ge 0}$.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят ${\displaystyle t^2}$ тыс. рублей в конце года ${\displaystyle t}$ ( ${\displaystyle t=1;2;\dots }$ ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 25%.
В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

а) Решите уравнение

${\displaystyle {49}^{\sin x}={\left(\frac{1}{7}\right)}^{-\sqrt{2}\sin 2x}}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[2\text{π};\frac{\text{7π}}{2}\right]}$.

Решите неравенство $\frac{8x^3-4x^2-2x+1}{{16}^{x^2}-4\cdot 4^{x^2}+4}\le 0.$

Решите неравенство ${11}^x\text{}-6-\frac{24\cdot {11}^x\text{}-244}{{121}^x\text{}-16\cdot {11}^x+60}\le \frac{1}{{11}^x\text{}-10}.$

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят ${\displaystyle t^2}$ тыс. рублей в конце года ${\displaystyle t}$ ( ${\displaystyle t=1;2;\dots }$ ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в ${\displaystyle 1+r}$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы
в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце девятого года. При каких положительных значениях ${\displaystyle r}$ это возможно?

а) Решите уравнение ${\cos }^{2}x+{\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}.$ 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[5\pi ;6\pi \right].$

Решите неравенство $\left({\log }_{\mathrm{0,25}}^2\left(x+3\right)-{\log }_4\left(x^2+6x+9\right)+1\right)\cdot {\log }_4\left(x+2\right)\le 0.$