Задание 4C5D98 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: аргумент логарифма в знаменателе равен 4ˣ−82⁽ˣ⁺¹⁾. Он положителен при x>32 и равен 1 при x=2; поэтому x>32, x≠2.

Допустимые значения: x>32, x≠2. Числитель равен (5x−12)². Знаменатель имеет знак логарифма числа 4ˣ−82ˣ⁺¹.

Вычисления: Положим t=2ˣ. Аргумент логарифма в знаменателе равен t²−82t. При x>32 он положителен; он меньше 1 при t<4, то есть x<2, и больше 1 при x>2. Числитель (5x−12)² обращается в ноль при x=125.

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Этот логарифм отрицателен при 32<x<2 и положителен при x>2. Поэтому, кроме первого интервала, подходит только ноль числителя x=125.

Ответ: (32; 2) ∪ {125}.