Задание AED2BB: Числа и их свойства

Пусть x₁<x₂<…<x₁₁, а B=x₆. Суммы шести меньших и шести больших чисел равны 30 и 90. В этих суммах B учтено дважды, поэтому сумма всех чисел равна 120−B.

а) Если x₁=3, шесть меньших различных чисел не меньше 3,4,5,6,7,8 и имеют сумму не меньше 33. Это противоречит сумме 30.

б) Среднее всех 11 чисел, равное 9, означало бы общую сумму 99 и B=120−99=21. Но тогда уже первые шесть чисел имеют сумму не меньше 1+2+3+4+5+21=36>30. Это невозможно.

в) Выражение S−B равно 120−B11−B=120−12B11, поэтому надо минимизировать B. При B≤7 сумма пяти различных натуральных чисел, меньших B, не превосходит 2+3+4+5+6=20; вместе с B получается меньше 30. Значит, B≥8. Равенство достигается набором 1,3,5,6,7,8,9,10,11,12,40. Тогда S−B=11211−8=2411.

Обозначим числа через x₁<…<x₁₁. Из условий на средние шести чисел получаем x₁+…+x₆=30 и x₆+…+x₁₁=90. Поэтому выражение S−B можно переписать через сумму всех чисел и шестое число, после чего задача сводится к оценке четырёх крайних чисел.

Минимальные значения первых чисел и строгий порядок задают нижнюю границу, а сумма последних чисел — верхнюю. Подстановка набора 1,2,3,4,5,15,16,17,18,19,20 показывает, что полученная оценка достигается; ответ записан в основном решении.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 2411.