Задание AB3CF8: Числа и их свойства

Из сравнения двух соседних сумм из четырёх чисел получаем периодичность остатков по модулю 4 с периодом 4. Условие для трёх чисел даёт либо четыре нечётных остатка, либо схему нечётный, чётный, чётный, нечётный.

На отрезке 1…365 содержатся 92 числа с остатком 1 и по 91 числу остальных остатков. Поэтому в одном периоде можно повторить не более 46 раз схему 1,0,2,1: получаем 184 числа. Схема достижима, а 200 требует больше чисел одного остатка. При N=109 период сворачивается в один остаток, что невозможно. Ответ: 184.

Рассмотрим остатки чисел по модулю 4. Сравнение соседних сумм четырёх чисел показывает, что остатки повторяются с периодом 4. Условие на сумму трёх соседних чисел исключает периоды с одинаковыми остатками и оставляет две единицы и две двойки в каждом периоде.

При N, кратном 4, в каждом периоде можно иметь не более четырёх чисел, а ограничение различности и верхняя граница 365 дают N≤184. Для проверки точности выписываем допустимый период и повторяем его до нужной длины; остатки всех трёх- и четырёхчленных сумм затем проверяются непосредственно.