Задание 354582: Числа и их свойства

Возьмём два числа из набора и заменим одно другим в любой тройке, четвёрке, пятёрке или шестёрке, остальные числа оставив теми же. Обе суммы целые, значит, разность заменяемых чисел делится соответственно на 3,4,5 и 6. Поэтому все десять чисел имеют одинаковый остаток по НОК(3;4;5;6)=60. Так как 30021≡21 по модулю 60, каждое число имеет вид 60k+21.

а) 351≡51 по модулю 60, а не 21. Значит, числа 30021 и 351 не могут стоять на доске одновременно.

б) Пусть y=11x — два числа на доске. Тогда y−x=10x делится на 60, то есть x делится на 6. Но число с остатком 21 по модулю 60 не делится на 6. Противоречие.

в) Если y=nx, то (n−1)x делится на 60. Для x≡21 по модулю 60 НОД(x;60)=3, следовательно, 20 делит n−1. Наименьшее n>1 равно 21. Оно достигается для x=21, y=441; остальные восемь чисел можно выбрать различными и сравнимыми с 21 по модулю 60. Ответ: 21.