Задание 9C9614: Числа и их свойства

Наименьшая сумма 100 различных натуральных чисел равна 1+2+…+100=5050. Во всех пунктах будем сравнивать данную сумму с наименьшей возможной при дополнительных условиях.

а) Если среди чисел есть 230, то вместе с ним для минимальной суммы надо взять 1,2,…,99. Получаем 1+…+99+230=5180>5120. Значит, числа 230 быть не может.

б) Без 14 наименьшие 100 натуральных чисел — это 1,2,…,101 без 14. Их сумма равна 1+…+101−14=5137>5120. Следовательно, 14 обязательно присутствует.

в) При не более трёх кратных 14 минимальная сумма достигается, когда берём 14,28,42 и 97 наименьших некратных 14 чисел; она равна 5152>5120. Поэтому кратных 14 нужно не менее четырёх. Четыре достаточно: возьмём 14,28,42,56 и 96 наименьших некратных 14 чисел, заменив в этом наборе 103 на 119. Сумма уменьшается до 5120. Ответ: 4.

Минимальная сумма 100 различных натуральных чисел равна 1+2+…+100=5050. Если обязательно присутствует 230, минимальная сумма получается заменой 100 на 230 и равна 5180, что уже больше 5120. Если исключить 14, в минимальном наборе 1,…,101 нужно заменить 14 следующим допустимым числом, и сумма становится 5137.

Для пункта в подсчитаем минимальную сумму при наличии не более трёх кратных 14. Она равна 5152 и превышает 5120, значит, нужно не менее четырёх. Набор с 14,28,42,56 и 96 подходящими числами после замены 103 на 119 даёт ровно 5120, поэтому нижняя оценка достигается.