Задание D51CAD: Числа и их свойства

Сравнение соседних сумм из четырёх чисел даёт период остатков по модулю 3 с периодом 4. Так как сумма каждой тройки не делится на 3, в периоде должны быть две единицы и две двойки.

Для N, кратного 4, получаем не более 2·133+2·133=266 чисел. При N≡2 по модулю 4 можно чередовать остатки 1 и 2; ровно 266 чисел с этими остатками существуют. N=360 требует по 180 чисел каждого остатка, а N=149 сводит период к одному остатку и нарушает условие. Ответ: 266.

Пусть rᵢ — остатки чисел по модулю 3. Из делимости каждой суммы четырёх соседних чисел следует rᵢ₊₄=rᵢ. Условие на тройки запрещает нулевую сумму в любом окне, поэтому в периоде остаются две единицы и две двойки.

В каждом полном периоде из четырёх позиций можно разместить только четыре числа. При N=360 потребовалось бы равное количество остатков, но условие на тройки нарушается; при N=149 остатки также не удаётся продолжить. Периодическая конструкция для 266 позиций показывает достижимость верхней оценки.