Задание D5588E: Числа и их свойства

Пусть числа упорядочены. Суммы шести меньших и шести больших равны 36 и 72, поэтому общая сумма равна 108−(x₅+x₆).

а) Шесть различных чисел не больше 14 имеют сумму не больше 69. б) Среднее 8,4 требовало бы x₅+x₆=24, но последние четыре тогда уже дают слишком большую сумму.

в) Из первых шести x₅+x₆≤26, а из последних шести x₅+5x₆≤62. Максимум x₅+x₆=19 при 9 и 10. Набор 1,2,6,8,9,10,11,12,13,17 достигает среднего 8,9.

Пусть x₁<…<x₁₀. Условия дают x₁+…+x₆=36 и x₅+…+x₁₀=72, поэтому сумма всех чисел равна 108−(x₅+x₆). Для проверки каждого пункта достаточно оценить среднюю пару с учётом строгого порядка.

Если x₁₀=14, первые шесть чисел не могут иметь сумму 36 при требуемом порядке и последних числах. Среднее 8,4 означало бы x₅+x₆=24, но тогда четыре наибольших числа уже превышают допустимую сумму. Набор из основного решения даёт x₅+x₆=19 и среднее 8,9.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 8,9.