Задание A65127: Числа и их свойства

Пусть юношей и девушек по n, а k юношей отправили по 16 писем. Остальные n−k отправили по 5, причём 2≤k≤n−2. Общее число писем равно 16k+5(n−k)=5n+11k. Поскольку одному адресату разрешено послать несколько писем, письма можно распределить между девушками с любыми неотрицательными целыми количествами, сумма которых равна этому числу.

а) Если каждая девушка получила 7 писем, то 5n+11k=7n, откуда 11k=2n. Возьмём k=2 и n=11. Два юноши отправляют по 16 писем, девять — по 5, всего 77. Их можно распределить по 7 каждой из 11 девушек. Ограничения на обе группы юношей выполнены.

б) При равном количестве писем у девушек число 5n+11k делится на n, то есть n делит 11k. Из условия n≥4. Если 4≤n≤10, числа n и 11 взаимно просты, поэтому n должно делить k, что невозможно при 2≤k≤n−2. Значит, n≥11. Пример пункта а показывает достижимость 11.

в) Для n попарно различных неотрицательных количеств писем минимальная сумма равна 0+1+…+(n−1)=n(n−1)2. В то же время как минимум два юноши отправили по 5 писем, поэтому писем не больше 16n−22. Необходимо n²−33n+44≤0. При n=32 левая часть равна 12>0 и при дальнейшем увеличении n растёт, следовательно, n≤31.

При n=31 берём 29 юношей по 16 писем и двух по 5: всего 474 письма. Девушкам распределяем 0, 1, 2, …, 29, 39 писем. Это 31 различное неотрицательное число с суммой 435+39=474. Максимум 31 достигнут.

Ответ: а) да; б) 11 девушек; в) 31 девушка.