Задание A8EFB6: Числа и их свойства

Пусть k чисел оканчиваются на 7. Все остальные записанные числа чётные. Общая сумма 810 чётна, а каждое число с последней цифрой 7 нечётно, поэтому k должно быть чётным.

а) Возьмём 24 наименьших чётных числа 2,4,…,48 и шесть наименьших чисел с концом 7: 7,17,…,57. Их сумма равна 792. Заменим чётное число 48 на 66; сумма увеличится на 18 и станет равной 810. Значит, 24 чётных числа возможны.

б) При двух числах с последней цифрой 7 остальные 28 чисел чётные. Уже их наименьшая сумма 2+4+…+56=812, а вместе с 7 и 17 получаем 836>810. Поэтому двух таких чисел быть не может.

в) При k=0 наименьшая сумма 30 чётных чисел равна 930, при k=2 она не меньше 836. Следующее допустимое значение k=4. Берём 26 чётных чисел 2,4,…,50,72 и числа 7,17,27,37; их сумма равна 650+72+88=810. Ответ: 4.

Пусть k чисел оканчиваются на 7. Все остальные числа чётны, поэтому сумма последних цифр показывает, что k должно быть чётным. Для проверки минимальных сумм берём наименьшие возможные различные числа каждого типа.

При двух числах с последней цифрой 7 минимальная сумма уже превышает 810, а при четырёх можно подобрать 2,4,…,50,72 и 7,17,27,37. Их сумма равна 810, поэтому четыре — точная нижняя граница.