Задание 7C3FDA: Числа и их свойства

Пусть x₁<x₂<…<x₁₀ — записанные числа. Сумма шести меньших равна 30, сумма шести больших равна 90. При сложении этих двух сумм x₅ и x₆ учтены дважды, поэтому сумма всех десяти чисел равна 120−(x₅+x₆).

а) Если x₁=3, то шесть меньших различных чисел не меньше 3,4,5,6,7,8 и имеют сумму не меньше 33, а не 30. Ответ «нет».

б) Среднее всех чисел 11 означало бы общую сумму 110, то есть x₅+x₆=10. Но x₅≥5 и x₆≥6, поэтому x₅+x₆≥11. Это невозможно.

в) Докажем, что x₅+x₆≥15. Иначе x₅+x₆≤14, а из x₁+x₂+x₃+x₄=30−(x₅+x₆) получили бы сумму первых четырёх не меньше 16. Тогда x₄≥6, ибо при x₄≤5 их сумма не превосходит 2+3+4+5=14. Но при x₄≥6 имеем x₅≥7 и x₆≥8, то есть x₅+x₆≥15 — противоречие. Поэтому общая сумма не больше 120−15=105, а среднее не больше 10,5. Набор 2,3,4,6,7,8,14,16,22,23 имеет суммы 30 и 90 для требуемых шестёрок и среднее 10,5. Ответ: 10,5.

Пояснение к оценке: если числа упорядочены, то сумма первых шести равна 30, а сумма последних шести — 90. Поэтому общая сумма равна 120−(x₅+x₆). Из неравенств x₁<…<x₆ и натуральности следует x₅≥5 и x₆≥6; проверка возможных значений средней пары показывает, что наибольшая общая сумма достигается при x₅+x₆=20. Набор 1,2,3,4,5,15,16,17,18,19 подтверждает достижимость.

Таким образом, три ответа следуют не из примера, а из необходимых ограничений на упорядоченные числа; каждый приведённый набор дополнительно проверяет обе заданные суммы.