Задание 394D51: Числа и их свойства

Заменим в тройке одно число другим, оставив два остальных. Разность двух получившихся сумм делится на 3, поэтому все числа сравнимы по модулю 3. Тот же приём для пятёрок даёт сравнимость по модулю 5. Следовательно, все числа имеют один и тот же остаток по модулю 15.

а) 305≡5 по модулю 15, а 1511≡11 по модулю 15. Поэтому эти два числа вместе записать нельзя.

б) Если на доске есть 305, все числа имеют остаток 5 по модулю 15. Квадрат любого числа с таким остатком имеет остаток 5²≡10, а не 5. Значит, одно из чисел не может быть квадратом другого.

в) Если на доске есть n и n², необходимо n²≡n по модулю 15. Для n=2,3,4,5 это неверно: остатки n²−n равны 2,6,12,20 и не делятся на 15. При n=6 имеем 36≡6 по модулю 15. Числа 6,36 и ещё восемь различных чисел с остатком 6 по модулю 15 дают требуемый набор. Ответ: 6.