Задание 34A218: Числа и их свойства

При сумме 132 каждое слагаемое может быть только 1, 11 или 111: уже 1111 больше всей суммы. Пусть слагаемых 111 ровно u, слагаемых 11 ровно v, а отдельных единиц w. Тогда 111u+11v+w=132, а использованных цифр n=3u+2v+w.

а) При n=60 берём восемь слагаемых 11 и 44 слагаемых 1. Сумма равна 8·11+44=132, количество единиц в записи 8·2+44=60. Значит, это возможно.

б) Каждое число из единиц сравнимо по модулю 9 с количеством его цифр. Поэтому вся сумма сравнима с n по модулю 9. Но 132 даёт остаток 6, а 80 — остаток 8. Следовательно, при n=80 сумма 132 невозможна.

в) Из двух равенств получаем n=132−108u−9v. Возможны только u=0 или u=1. При u=0 число v может принимать все значения от 0 до 12, а w=132−11v≥0. Получаем 13 различных значений n: 132, 123, …, 24.

При u=1 остаётся 11v+w=21, поэтому v=0 или v=1. Они дают n=24 и n=15 соответственно. Число 24 уже было в первом списке, а 15 — новое. Итого 14 различных значений n: 15, 24, 33, …, 132. Каждый вариант построен с неотрицательными целыми u, v, w, поэтому все значения достижимы.

Ответ: а) да; б) нет; в) 14 значений n.