Задание 40BED3: Числа и их свойства

а) Пусть в школе № 1 первоначально было n учеников, а переведённый ученик набрал x баллов. До перехода сумма равна 18n, после перехода средний балл равен 19,8: 18n−xn−1=19,8. Отсюда x=19,8−1,8n. Число x натурально, поэтому 10x=198−18n делится на 10; значит, n≡1 по модулю 5. Из x>0 следует n<11, а n≥2. Получаем n=6 и x=9.

б) Сумма баллов шести учеников равна 18·6=108. Среди оставшихся пяти учеников один может иметь наибольший балл, а четыре других должны набрать различные натуральные числа, отличные от 9. Их наименьшая сумма равна 1+2+3+4=10. Поэтому наибольший балл равен 108−9−10=89. Такой набор 1,2,3,4,9,89 существует.

в) Пусть во второй школе первоначально m>10 учеников со средним A. После прихода ученика с 9 баллами средний вырос на 10%: mA+9m+1=1,1A. После упрощения A(m+11)=90. Число m+11 — делитель 90 и больше 21; наименьший такой делитель равен 30. Следовательно, m=19, A=3. Ответ: а) 6; б) 89; в) 19.